Question

将数列{a_n}按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一个数a₁，a₂，a₅，…构成公差为d的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成公比为q的等比数列．若a₁=1，a₃=4，a₅=3．
（Ⅰ）求d，q的值；
（Ⅱ）求第n行各数的和T．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，可求得d=1，又a₃=a₂q=（a₁+d）q，可求得q=2；
（Ⅱ）记第n行第1个数为A，易求A=n；据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，而第n行共有（2n-1）个数，第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，于是可求得第n行各数的和T．

解答： 解：（Ⅰ）依题意得a₅=a₁+2d，∴3=1+2d，
所以d=1．…（2分）
又∵a₃=a₂q=（a₁+d）q，q=2，
所以d，q的值分别为1，2．…（6分）
（Ⅱ）记第n行第1个数为A，
由（1）可知：A=a₁+（n-1）d=n，…（7分）
又根据此数表的排列规律可知：每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
所以第n行共有（2n-1）个数，…（9分）
∴第n行各数为以n为首项，q=2为公比的等比数列，
因此其总数的和T=

n(1-22n-1)

1-2

=n•2^2n-1-n．…（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查方程思想与运算推理能力，（Ⅱ）中判断出每行的总个数构成一个以1为首项，2为公差的等差数列是关键，突出考查归纳推理，属于难题．