Question

10．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点O，连结AO，以O为原点，OB为x轴，过O作BB₁平行线为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB₁⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）求出平面AA₁D的法向量和平面A₁DB的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁D-B的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ取BC中点O，连结AO，
以O为原点，OB为x轴，过O作BB₁平行线为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（1，2，0），A₁（0，2，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），D（-1，1，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，-2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，-1，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=1-4+3=0，$\overrightarrow{{AB}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=-1-2+3=0，
∴AB₁⊥A₁B，AB₁⊥A₁D，
∵A₁B∩A₁D=A₁，
∴AB₁⊥平面A₁BD．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DA}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，-1，0），
设平面AA₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，-1$），
设平面A₁DB的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=a+b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a-b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
设二面角A-A₁D-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{4}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴二面角A-A₁D-B的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{4}$

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．