Question

1．已知函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，其中$\overrightarrow m=（sinωx+cosωx，\sqrt{3}cosωx）$，$\overrightarrow n=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）$．若函数f（x）相邻两对称轴的距离等于$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；并求函数f（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若$f（A）=1，a=\sqrt{3}，b+c=3$（b＞c），求边b、c的长．

Answer 1

分析 （1）首先，结合平面向量数量积的坐标运算，化简函数f（x）的解析式，然后，结合周期公式，确定ω的值再结合x的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其值域．
（2）根据（1），先确定A的值，然后，结合余弦定理，求解边b，c的长．

解答 解：（1）$f（x）=（{cos^2}ωx-{sin^2}ωx）+2\sqrt{3}sinωxcosωx=2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，$T=\frac{2π}{2ω}=π，ω=1，f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域是[-1，2]．
（2）∵$f（A）=2sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
∴$A=\frac{π}{3}$．
∴${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
∵b+c=3，①b＞c，a=$\sqrt{3}$，可得：bc=2，②
∴解得：b=2，c=1．
故b的长为2，c的长为1．

点评 本题综合考查了三角恒等变换公式，二倍角公式等知识，余弦定理及其运用等，属于中档题．