Question

19．F₁、F₂是双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的两个焦点，点P在双曲线上且满足|PF₁|•|PF₂|=32，则∠F₁PF₂是（　　）

• A． 钝角
• B． 直角
• C． 锐角
• D． 以上都有可能

Answer 1

分析 根据双曲线的标准方程求出焦点坐标，结合余弦定理进行求解即可．

解答 解：由双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$知F₁（-5，0），F₂（5，0），则|F₁F₂|=10；
点P在双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$上，不妨设点P在右支上，
则|PF₁|-|PF₂|=6，
平方得${（{|P{F_1}|-|P{F_2}|}）^2}=36$，
即$|P{F_1}{|^2}-2|P{F_1}||P{F_2}|+|P{F_2}{|^2}=36$；
因为|PF₁||PF₂|=32，所以$|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}=100$，
又由余弦定理得$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}-|{F_1}{F_2}{|^2}}}{{2|P{F_1}||P{F_2}|}}=\frac{100-100}{{2|P{F_1}||P{F_2}|}}=0$，
即cos∠F₁PF₂=0，所以∠F₁PF₂=90°．
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线的定义结合余弦定理是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．