Question

2．已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a²+b²=c²，即${（\frac{a}{c}）^2}+{（\frac{b}{c}）^2}=1$，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n≥3）时，△ABC的形状为锐角三角形．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）．

Answer 1

分析 由已知的等式cⁿ=aⁿ+bⁿ，得到c为三角形的最大边，利用不等式的性质及作差的方法判断得到a²+b²＞c²，然后利用余弦定理表示出cosC，由得到的a²+b²＞c²，判断出cosC大于0，即C为锐角，根据三角形边角关系：大边对大角，得到三角形三内角都为锐角，从而得到三角形为锐角三角形．

解答 解：∵cⁿ=aⁿ+bⁿ，
∴c＞a，c＞b，即c为最大边，
∴c^n-2＞a^n-2，c^n-2＞b^n-2，
即c^n-2-a^n-2＞0，c^n-2-b^n-2＞0，
∴（a²+b²）c^n-2-cⁿ=（a²+b²）c^n-2-aⁿ-bⁿ=a²（c^n-2-a^n-2）+b²（c^n-2-b^n-2）＞0，
即（a²+b²）c^n-2＞cⁿ，
∴a²+b²＞c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
则△ABC也是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形．

点评 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有三角形的边角关系，不等式的基本性质，余弦函数的图象与性质以及余弦定理，其中利用作差法判断出a²+b²＞c²是解本题的关键．