Question

18．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C对边，且2cos（A+2C）+4sinBsinC=1．
（1）求A；
（2）若a=3$\sqrt{6}$，cos$\frac{B}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求b．

Answer 1

分析 （1）已知等式中的A+2C变形为（A+C）+C，将A+C=π-B代入，利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出出A；
（2）由条件和平方关系求出sin$\frac{B}{2}$的值，利用二倍角的正弦函数公式求出sinB的值，由a、sinA的值和正弦定理求出b的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由2cos（A+2C）=1-4sinBsinC得，2cos[（A+C）+C]=1-4sinBsinC，
∴2cos[π-（B-C）]=1-4sinBsinC，则-2cos（B-C）=1-4sinBsinC，
∴-2（cosBcosC+sinBsinC）=1-4sinBsinC，
-2（cosBcosC-sinBsinC）=1，即cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（π-A）=$-\frac{1}{2}$，则cosA=$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π得，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵cos$\frac{B}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，0＜B＜π，∴sin$\frac{B}{2}$=$\sqrt{1-co{s}^{2}\frac{B}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=2$sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}$=$2×\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
又a=$3\sqrt{6}$，则由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{a•sinB}{sinA}$=$\frac{3\sqrt{6}×\frac{4\sqrt{2}}{9}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正弦函数公式等，熟练掌握公式及定理是解题的关键，考查化简、计算能力．