题目内容
如图⊙O的直径为CA，OB⊥CA，M在OA上，连接BM交⊙O于N，以N为切点，作⊙O的切线交CA延长线于P．（Ⅰ）求证PM=PN；
（Ⅱ）若⊙O的半径为2，PM=
| 5 |
考点：与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（Ⅰ）连接ON，根据切线的性质可得ON⊥PN，由同角的余角相等，可得∠PMN=∠PNM，进而得到PM=PN；
（Ⅱ）：（Ⅱ）设AM=x，则PA=
-x，PC=4+
-x，根据PM=PN=
，结合切割线定理，构造关于x的方程，解方程，可得AM的长．
（Ⅱ）：（Ⅱ）设AM=x，则PA=
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解答：
证明：（Ⅰ）连接ON，
∵PN与圆O相切，N为切点，
∴ON⊥PN，
故∠PNM+∠ONM=90°，
又∵OB⊥CA，
∴∠OMB+∠OBM=90°，
又∵∠OBM=∠ONM，
∴∠OMB=∠PNM，即∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；
解：（Ⅱ）设AM=x，
∵⊙O的半径为2，PM=PN=
，
∴PA=
-x，PC=4+
-x，
由切割线定理可得：PN2=PA•PB，
即5=（
-x）（4+
-x），
解得x=
-1，或x=
+5（舍），
故AM=
-1
∵PN与圆O相切，N为切点，
∴ON⊥PN，
故∠PNM+∠ONM=90°，
又∵OB⊥CA，
∴∠OMB+∠OBM=90°，
又∵∠OBM=∠ONM，
∴∠OMB=∠PNM，即∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；
解：（Ⅱ）设AM=x，
∵⊙O的半径为2，PM=PN=
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∴PA=
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由切割线定理可得：PN2=PA•PB，
即5=（
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解得x=
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故AM=
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点评：本题考查的知识点是切线的性质，切割线定理，难度不大，属于基础题．
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