Question

已知f（x）=log_ax在[2，8]上的最大值与最小值之和为4．
（1）已知g（x）为奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x+1），求x＜0时，求g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：-1＜g（x）＜

1

2

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）得出log_a2+log_a8=log_a16=4，得出a=2，运用奇偶性得出g（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(1-x)，x＜0

，
（2）当x≥0时，-1＜log₂（x+1）＜

1

2

，0≤x＜

2

-1，当x＜0时，-1＜log₂（1-x）＜

1

2

，求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_ax在[2，8]上的最大值与最小值之和为4．
∴根据f（x）是单调函数，可知：log_a2+log_a8=log_a16=4，
∴a=2，
∴f（x）=log₂x，
∵当x≥0时，g（x）=f（x+1）=log₂（x+1），g（x）为奇函数
∴当x＜0时，g（x）=-g（-x）=-log₂（1-x），
∴g（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(1-x)，x＜0

，
（2）g（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(1-x)，x＜0

，
∵当x≥0时，-1＜log₂（x+1）＜

1

2

，
∴0≤x＜

2

-1，
∵x＜0时，-1＜log₂（1-x）＜

1

2

，
∴1-

2

＜x＜0，
综上x的不等式：-1＜g（x）＜

1

2

：1-

2

＜x＜

2

-1，

点评：本题综合考查了函数的性质，不等式的求解，