Question

从1、2、3…n中任取三个不同的数，则取出的三个数可作为三角形三边边长的概率为

 

．（用n表示）

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：从1、2、3…n中任取三个不同的数，所有可能的组数为

C

3 n

=

n(n-1)(n-2)

6

；再以三边长中最长的边为标准分类，从而确定取出的三个数可作为三角形三边边长的组数，从而利用概率公式求概率．

解答： 解：从1、2、3…n中任取三个不同的数，所有可能的组数为

C

3 n

=

n(n-1)(n-2)

6

；
不妨设所取的三个数为：c＜b＜a；
则由b+c＞a知，

a

2

＜b＜a；
①当a为偶数，a≥4时，

a

2

+1≤b≤a-1；
又∵a-b＜c＜b；
∴a-b+1≤c≤b-1；
故c的可能取值个数为（b-1）-（a-b+1）+1=2b-a-1；
故b=a-1时，c的可能取值个数为a-3；
b=a-2时，c的可能取值个数为a-5；
…
b=

a

2

+1时，c的可能取值个数为1；
故1+3+5+…+（a-3）=(

a-2

2

)2；
②当a为奇数，a≥5时，
b=

a

2

+1.5时，c的可能取值个数为2；
b=

a

2

+2.5时，c的可能取值个数为4；
b=

a

2

+3.5时，c的可能取值个数为6；
…
b=a-1时，c的可能取值个数为a-3；
故2+4+6+…+a-3=(

a-3

2

)2+

a-3

2

；
故当n为偶数时，
取出的三个数可作为三角形三边边长的组数有
（1²+2²+…+(

n-2

2

)2）+（1²+2²+…+(

n-4

2

)2）+1+2+3+…+

n-4

2

=

n(n-2)(2n-5)

24

；
故P=

n(n-2)(2n-5)

24

×

6

n(n-1)(n-2)

=

2n-5

4(n-1)

，（n≥4）；
故当n为奇数时，
取出的三个数可作为三角形三边边长的组数有
（1²+2²+…+(

n-3

2

)2）+（1²+2²+…+(

n-3

2

)2）+1+2+3+…+

n-3

2

=

(n-1)(n-3)(2n-1)

24

；
故P=

(n-1)(n-3)(2n-1)

24

×

6

n(n-1)(n-2)

=

(n-3)(2n-1)

4n(n-2)

，（n≥5）．
故答案为：

2n-5

4(n-1)

，（n≥4，n为偶数），

(n-3)(2n-1)

4n(n-2)

，（n≥5，n为奇数）．

点评：本题考查了排列组合的应用，同时考查了古典概型概率的求法，属于难题．