Question

如图，△PAB是边长为2的正三角形，平面PAB外一动点C满足下面条件：PC=PA，AC⊥AB．
（Ⅰ）若M为BC的中点，求证：PM⊥平面ABC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-B与二面角P-AB-C互余，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AB的中点N，连接PM、MN、PN，由已知得PM⊥BC、PN⊥AB，MN⊥AB，从而AB⊥平面PMN，由此能证明PM⊥平面ABC．
（Ⅱ）以AB所在的直线为x轴、AC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥P-ABC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点N，连接PM、MN、PN，
由已知PC=PA=PB，∴PM⊥BC、PN⊥AB，
又MN为△ABC的中位线，且∠BAC=90°，
∴MN⊥AB，∴AB⊥平面PMN，
∴AB⊥PM，∴PM⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：如图，以AB所在的直线为x轴、
AC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0）、B（2，0，0），
设C（0，2t，0）（t＞0），
则∵PN=

3

，MN=t，∴PM=

3-t2

∴P(1，t，

3-t2

)
由（Ⅰ）可知二面角P-AB-C的平面角为∠PNM，
sin∠PNM=

3-t2

3

，
设平面PAC的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1 • AP =x1+ty1+ 3-t2 z1=0 n1 • AC =2ty1=0

令z₁=-1，得

n1

=(

3-t2

，0，-1)，
设平面PBC的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则

n2 • BC =-2x2+2ty2=0 n2 • BP =-x2+ty2+ 3-t2 z2=0

，
令y₂=1得

n2

=(t，1，0)，
由已知得cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

t 3-t2

4-t2 • t2+1

=

3-t2

3

，
解得t=

2

，此时，VP-ABC=

1

3

S△ABC•PM=

2 2

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．