Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A1在底面ABC上的射影恰好是AB的中点O，底面ABC是正三角形，其重心为G点，D是BC中点，B₁D交BC₁于E．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）若二面角B₁-AD-B的正切值为

2 3

3

，求直线BC1与底面ABC所成角．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AB₁，则

DE

EB1

=

DG

GA

=

1

2

，由此能证明GE∥侧面AA₁B₁B．
（2）过B₁作B₁F⊥AB，交AB延长线于F，过F作AD的垂线，交AD延长线于E，连B₁E，则∠B₁EF为二面角B₁-AD-B的平面角，从而tan∠B₁EF=

2 3

3

，设正三角形ABC边长为a，连OD并延长到H，使DH=OD，∠C₁BH为直线BC1与底面ABC所成角，由此能求出直线BC1与底面ABC所成角．

解答： （1）证明：

DE

EB1

=

BD

B1C1

=

1

2

，连结AB₁，
∵

DE

EB1

=

DG

GA

=

1

2

，GE不包含于AB₁，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B．
（2）过B₁作B₁F⊥AB，交AB延长线于F，
过F作AD的垂线，交AD延长线于E，
连B₁E，则∠B₁EF为二面角B₁-AD-B的平面角，
从而tan∠B₁EF=

2 3

3

，
设正三角形ABC边长为a，则

EF

DB

=

AF

AB

=

3

2

，
∴EF=

3

2

DB=

3

4

a，
则B1F =A₁O=

3

4

a•

2

3

3

=

3

2

a，从而AA₁=AB，
连OD并延长到H，使DH=OD，
则OH

∥

.

A₁C₁，故四边形A₁OHC₁为平行四边形，
∴C₁H⊥平面ABC，∠C₁BH为直线BC1与底面ABC所成角，
∵OH与BC互相平分，∴四边形OCHB为平行四边形，
∴BH=OC=

3

2

a，
∴△C₁HB为等腰直角三角形，
∴直线BC1与底面ABC所成角为

π

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与底面所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．