Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B点．
（1）求a的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；
（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=

1

2

x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）将y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得（a²-3）x²+2ax+2=0，由题意知a²-3≠0，且△=4a²+8（3-a²）＞0，由此能求出a的取值范围．
（2）设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2a

a2-3

，x₁x₂=

2

a2-3

，y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1，由已知得OA⊥OB，由此求出a=±1．
（3）若A、B两点关于直线y=

1

2

x对称，则直线y=

1

2

x垂直AB，且AO=BO，由此能推导出存在实数a，使A、B两点关于直线y=

1

2

x对称．

解答： 解：（1）将y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得
3x²-（ax+1）²=1，整理，
（a²-3）x²+2ax+2=0，
∵直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B点，
∴a²-3≠0，且△=4a²+8（3-a²）＞0，得：a²＜6，且a≠±

3

，
∴a的取值范围是{a||-

6

＜a＜

6

，且a≠±

3

}．
（2）设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

2a

a2-3

，x₁x₂=

2

a2-3

，
∴y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1
∵以AB为直径的圆过坐标原点∴OA⊥OB，
故OA与OB的斜率的乘积为-1．
∴x₁x₂=-y₁y₂，即

2

a2-3

=-1，
解得a=±1．
（3）若A、B两点关于直线y=

1

2

x对称，
则直线y=

1

2

x垂直AB，且AO=BO，
由直线y=

1

2

x垂直AB得出a=-2，
∴x₁x₂=2，x₁+x₂=4，
y₁y₂=1，y₁+y₂=-6，
∴AB中点为（2，-3），且不在y=

1

2

x上，
所以a=-2不成立，
综上：不存在实数a，使A、B两点关于直线y=

1

2

x对称．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查实数值的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．