Question

在平行四边形ABCD中，已知|

AB

|=2，|

AD

|=1，∠BAD=60°，点E是BC的中点，AE与BD相交于点P，则

AP

•

AD

=

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，建立直角坐标系．由已知可得A（0，0），B（2，0），D(

1

2

，

3

2

)，C(

5

2

，

3

2

)，E(

9

4

，

3

4

)．由于B，P，D三点共线，利用向量共线定理可得存在实数λ使得

AP

=λ

AB

+(1-λ)

AD

．由于点P在直线AE上，利用向量共线定理可得存在实数μ使得

AP

=μ

AE

，再利用向量共面的基本定理可得λ，μ．再利用数量积运算即可得出．

解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
A（0，0），B（2，0），D(

1

2

，

3

2

)，C(

5

2

，

3

2

)，E(

9

4

，

3

4

)．
∵B，P，D三点共线，∴存在实数λ使得

AP

=λ

AB

+(1-λ)

AD

=(

3λ+1

2

，

3 - 3 λ

2

)．
∵点P在直线AE上，∴存在实数μ使得

AP

=μ

AE

=μ(

9

4

，

3

4

)=(

9μ

4

，

3 μ

4

)，
∴

3λ+1 2 = 9μ 4 3 - 3 λ 2 = 3 μ 4

，解得λ=μ=

2

3

．
∴

AP

=(

3

2

，

3

6

)．
∴

AP

•

AD

=(

3

2

，

3

6

)•(

1

2

，

3

2

)=

3

4

+

1

4

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．