题目内容
已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的公比q；
（Ⅱ）证明：a2，a8，a5成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的公比q；
（Ⅱ）证明：a2，a8，a5成等差数列．
考点：等差关系的确定,等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）根据等比数列的通项公式，建立条件关系，即可得到结论．
（2）利用等差数列的定义进行证明即可．
（2）利用等差数列的定义进行证明即可．
解答：
解：（Ⅰ）由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6．
当q=1时，即得18a1≠3a1+6a1，不成立．…（3分）
当q≠1时，即得
=
+
，
整理得：2q6-q3-1=0，即2（q3）2-q3-1=0，
解得：q=1（舍去），或q=-
．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知q3+1=2q6，
∴a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=a1q•2q6=2a1q7，
∵2a8=2a1q7，
∴a2+a5=2a8，即a2，a8，a5成等差数列． …（12分）
当q=1时，即得18a1≠3a1+6a1，不成立．…（3分）
当q≠1时，即得
| 2a1(1-q9) |
| 1-q |
| a1(1-q3) |
| 1-q |
| a1(1-q6) |
| 1-q |
整理得：2q6-q3-1=0，即2（q3）2-q3-1=0，
解得：q=1（舍去），或q=-
| |||
| 2 |
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知q3+1=2q6，
∴a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=a1q•2q6=2a1q7，
∵2a8=2a1q7，
∴a2+a5=2a8，即a2，a8，a5成等差数列． …（12分）
点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，考查学生的计算能力．
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