Question

已知P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若S_△IPF1=S_△IPF2+

2

2

S△_IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、4
• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式S_△IPF1=S_△IPF2+

2

2

S△_IF1F2，化简可得|PF₁|-|PF₂|=

2

2

|F₁F₂|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．

解答： 解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、
PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，
它们分别是△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S△IPF₁=

1

2

|PF₁|•|IF|=

1

2

|PF₁|，
S△IPF₂=

1

2

|PF₂|•|IG|=

1

2

|PF₂|，
S△IF₁F₂=

1

2

|F₁F₂|•|IE|=

1

2

|F₁F₂|，
其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵S_△IPF2=S_△IPF1-

2

2

S_△IF1F2，
∴

r

2

|PF₂|=

r

2

|PF₁|-

2

2

|F₁F₂|，
两边约去

r

2

得：|PF₂|=|PF₁|-

2

2

|F₁F₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=

2

2

|F₁F₂|
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴2a=

2

c⇒离心率为e=

c

a

=

2

．
故选B．

点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．