Question

在四边形ABCD中，AB=AD，∠CAB=3∠CAD，∠ACD=∠CBD，则tan∠ACD=（　　）

• A、

  2

  4

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：令∠CAD=θ，∠BAC=3θ，∠CBD=∠ACD=φ，∠BCD=

π

2

-θ．在△ACD、△ABD、△BCD中，利用正弦定理，即可得出结论．

解答：解：（1）令∠CAD=θ，由题意可得∠BAC=3θ，令∠CBD=∠ACD=φ，设AC和BD相交于点G，BD的中点为E，
则由AB=AD可得AE⊥BD．
则再由∠BDC=∠CDG，可得△CDG∽△BDC，∴∠BCD=∠CGD=∠AGE=

π

2

-θ．
在△ACD中，

AD

sinφ

=

CD

sinθ

∴CD=

ADsinθ

sinφ

 ①．
在△ABD中，AB=AD，∠BAD=4θ，故BD=2ADsin2θ ②；
在△BCD中，

BD

sin( π 2 -θ)

=

CD

sinφ

 ③，把①②代入③求得sin²φ=

1

4

，∴sinφ=

1

2

，θ=

π

6

，
∴tanφ=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题考查角的计算，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．