Question

曲线 y=

1

x

（x＞0）在点 P（x₀，y₀）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的
周长的最小值为（　　）

• A、4+2

  2

• B、2

  2

• C、2
• D、5+2

  7

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：利用导数求出函数y=

1

x

（x＞0）在点 P（x₀，y₀）处的切线方程，得到直线在两坐标轴上的截距，由勾股定理求得第三边，作和后利用基本不等式求最值．

解答：解：由y=

1

x

，得y′=-

1

x2

，
则y′|x=x0=-

1

x02

，
∴曲线 y=

1

x

（x＞0）在点 P（x₀，y₀）处的切线方程为：y-

1

x0

=-

1

x02

（x-x₀）．
整理得：x+x02y-2x0=0．
取y=0，得：x=2x₀，取x=0，得y=

2

x0

．
∴|AB|=

4x02+ 4 x02

=2

x02+ 1 x02

．
∴△OAB的周长为|2x0|+|

2

x0

|+2

x02+ 1 x02

=2(x0+

1

x0

)+2

x02+ 1 x02

（x₀＞0）
≥2×2

x0• 1 x0

+2

2x0• 1 x0

=4+2

2

．
当且仅当x₀=1时上式等号成立．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．