Question

已知f（x）=x³-3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，则m的取值范围是（　　）

• A、m＞3+4

  2

• B、0＜m＜3+4

  2

• C、0＜m＜2

  2

  -1
• D、m＞2

  2

  -1

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用导数求得f（x）=x³-3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．

解答：解：f（x）=x³-3x+3+m，求导f′（x）=3x²-3由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）_min=f（1）=m+1，f（x）_max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．
∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，
∴（m+1）²+（m+1）²＜（m+5）²，即m²-6m-23＜0，解得3-4

2

＜m＜3+4

2

又已知m＞0，∴0＜m＜3+4

2

．
故选：B．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求得最值的知识，考查不等式的构造及其求法，属中档题．