Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以D为原点，

DA

，

DC

，

DD1

所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz，点M在线段AB₁上，点N在线段BC₁上，且MN⊥AB₁，MN⊥BC₁，求：
（1）＜

AB1

，

BC1

＞；
（2）

MN

的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）分别求出D，A，B，A₁，B₁的坐标，并求出向量AB₁，BC₁的坐标，以及数量积和模，再由夹角公式，即可得到夹角；
（2）设点M（1，x，x），N（y，1，1-y），运用向量垂直即为数量积为0，解出x，y，即可得到所求向量的坐标．

解答： 解：（1）由题意可知D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），
所以

AB1

=(0，1，1)，

BC1

=(-1，0，1)，

AB1

•

BC1

=0×(-1)+1×0+1×1=1，|

AB1

|=

02+12+12

=

2

，
|

BC1

|=

(-1)2+02+12

=

2

，
所以cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

| AB1 |•| BC1 |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
所以＜

AB1

，

BC1

＞=

π

3

；
（2）设点M（1，x，x），N（y，1，1-y），
则

MN

=(y-1，1-x，1-x-y)，
因为

MN

⊥

AB1

，且

MN

⊥

BC1

，
所以

MN

•

AB1

=0，

MN

•

BC1

=0，
即

(y-1，1-x，1-x-y)•(0，1，1)=0 (y-1，1-x，1-x-y)•(-1，0，1)=0

，
化简得

2-2x-y=0 2-x-2y=0

，解得x=y=

2

3

，
则

MN

=（-

1

3

，

1

3

，-

1

3

）．

点评：本题考查空间向量的数量积的定义和坐标公式和性质，向量垂直即为数量积为0，向量的模的公式，考查运算能力，属于中档题．