Question

10．已知函数f（x）为偶函数，定义域为R，在[0，+∞）上是增函数，且f（-1）=0，则f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤0}．

Answer 1

分析 根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）在区间（-∞，0]是减函数，又由f（-1）=0，分析可得当x≤0时，f（x）≤0的解集，进而由[0，+∞）的单调性以及f（1）=f（-1）=0，分析可得当x≥0时，f（x）≤0的解集，综合可得答案．

解答 解：定义域在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则其在区间（-∞，0]是减函数，
又由f（-1）=0，
则当x≤0时，f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤0}，
当x≥0时，f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，且f（1）=f（-1）=0，
则此时f（x）≤0的解集为{x|0≤x≤1}，
综合可得f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤1}，
故答案为：{x|-1≤x≤1}

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．