Question

19．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin²C-cos²C=$\frac{1}{2}$，则下列各式正确的是（　　）

• A． a+b=2c
• B． a+b≤2c
• C． a+b＜2c
• D． a+b≥2c

Answer 1

分析 由已知及二倍角公式化简可得cos2C=-$\frac{1}{2}$，解得C=$\frac{π}{3}$．由余弦定理可得c²=b²+a²-ab，可求c²≥ab，又c²+3ab=（b+a）²，推出 （b+a）²≤4c²，即可解得2c≥b+a．

解答 解：∵sin²C-cos²C=$\frac{1}{2}$，
∴cos2C=-$\frac{1}{2}$，解得：C=$\frac{π}{3}$．
∵c²=b²+a²-2ab×cos∠C，即 c²=b²+a²-ab，
∴c²-ab=b²+a²-2ab=（b-a）²≥0，即c²≥ab，
又∵c²=b²+a²+2ab-3ab=（b+a）²-3ab，
即 c²+3ab=（b+a）²，
因为 c²≥ab，推出 （b+a）²≤4c²，
可得：2c≥b+a，
故选：B．

点评 本题主要考查了余弦定理，平方差公式，基本不等式的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．