题目内容
20．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：①（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）2=3$\overrightarrow{AB}$2；②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=0；③$\overrightarrow{A{D}_{1}}$与$\overrightarrow{{A}_{1}B}$的夹角为60°，其中正确命题的个数是（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
分析 根据空间向量的垂直和异面直线的所成的角即可求出．
解答 解：对于①（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）2=（$\overrightarrow{A{A}_{1}}$）2+（$\overrightarrow{AD}$）2+（$\overrightarrow{AB}$）2+2$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{A{A}_{1}}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AB}$2，故正确，
对于②$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•（$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$-$\overrightarrow{{A}_{1}A}$）=$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overline{A{B}_{1}}$≠0，故错误，
对于③∵$\overline{{A}_{1}B}$∥$\overrightarrow{{D}_{1}C}$，AD1，AC，D1C，分别为面的对角线，∴∠AD1C=60°，∴；③$\overrightarrow{A{D}_{1}}$与$\overrightarrow{{A}_{1}B}$的夹角为60°，故正确，
故选：C．
点评 本题考查了空间向量的垂直和异面直线的所成的角，属于基础题．
练习册系列答案
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8．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ）
| A． | f（x）=x3 | B． | f（x）=lgx | C． | $f（x）={（{\frac{1}{2}}）^x}$ | D． | f（x）=3x |
9．已知实数a＞0，b＞0，函数f（x）=ax2+b满足：对任意实数x，y，有f（xy）+f（x+y）≥f（x）f（y），则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （0，1] | B． | （0，1） | C． | （0，2） | D． | （0，2] |