题目内容
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C”是由椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与“盾圆C”依次交于M、N、G、H四点，P和P′分别为NG、MH的中点，求
| |MH| |
| |NG| |
| |PF2| |
| |P′F2| |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由y2=4x的准线为x=-1，得A(
，
)，2a=|AF1|+|AF2|=
+
=6，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设过F2的直线为x=my+1（m≠0），联立
，得（8m2+9）y2+16my-64=0，联立
，得y2-4my-4=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出
•
的值．
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（Ⅱ）设过F2的直线为x=my+1（m≠0），联立
|
|
| |MH| |
| |NG| |
| |PF2| |
| |P′F2| |
解答：
解：（Ⅰ）由y2=4x的准线为x=-1，
∴|AF2|=xA+1=
，故记A(
，
)…（3分）
又F1（-1，0），
所以2a=|AF1|+|AF2|=
+
=6，
故椭圆为
+
=1．…（6分）
（Ⅱ）设过F2的直线为x=my+1（m≠0），
M（xM，yM）、N（xN，yN）、G（xG，yG）、H（xH，yH）
联立
，得（8m2+9）y2+16my-64=0，
则
联立
，得y2-4my-4=0，
则
…（9分）
由M、N、G、H、P、P'共线，
所以
•
=
•
代入韦达定理整理得，
•
=
•
=3．…（13分）
∴|AF2|=xA+1=
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
又F1（-1，0），
所以2a=|AF1|+|AF2|=
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
故椭圆为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 8 |
（Ⅱ）设过F2的直线为x=my+1（m≠0），
M（xM，yM）、N（xN，yN）、G（xG，yG）、H（xH，yH）
联立
|
则
|
联立
|
则
|
由M、N、G、H、P、P'共线，
所以
| |MH| |
| |NG| |
| |PF2| |
| |P′F2| |
| |yM-yH| |
| |yN-yG| |
|
| ||
|
|
代入韦达定理整理得，
| |MH| |
| |NG| |
| |PF2| |
| |P′F2| |
| ||||
|
| |4m| | ||
|
|
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段比值的乘积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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相关题目
已知F1、F2是双曲线
-
=1的左、右焦点，P为双曲线上一点，若PF1⊥F1F2，则线段PF1的长度为（ ）
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 5 |
A、
| ||
B、
| ||
| C、5 | ||
D、
|
下列命题中正确的是（ ）
（1）已知a，b∈R，则a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件
（2）当z是非零实数时，|z+
|≥2恒成立
（3）复数z=（1-i）3的实部和虚部都是-2
（4）设z的共轭复数为
，若z+
=4，z•
=8，则
=-i．
（1）已知a，b∈R，则a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件
（2）当z是非零实数时，|z+
| 1 |
| z |
（3）复数z=（1-i）3的实部和虚部都是-2
（4）设z的共轭复数为
. |
| z |
. |
| z |
. |
| z |
| ||
| z |
| A、（1）（2） |
| B、（1）（3） |
| C、（2）（3） |
| D、（2）（4） |
在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．