Question

若（

a

x

-

x 2

）⁹的展开式中x³项的系数为

9

4

．
（1）求a的值；
（2）求证：a¹⁵-1能被2a-1整除．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用,整除的基本性质

专题：二项式定理

分析：（1）直接利用二项式定理的展开式求出常数项，得到关系式即可求a的值；
（2）通过（1）化简a¹⁵-1，利用二项式定理，证明表达式能被2a-1整除．

解答： （本小题满分16分）
解：（1）通项T_r+1=C₉^r(

a

x

)9-r•(-

x 2

)r=C₉^ra^9-r（-

1

2

）^rx

3r

2

-9，
令

3r

2

-9=0 得r=8，
∴C₉⁸a^9-8（-

1

2

）⁸=

9

16

a=

9

4

，
∴a=4．
（2）当a=4时，2a-1=7，
a¹⁵-1=2³⁰-1
=（7+1）¹⁰-1
=C₁₀⁰7¹⁰+C₁₀¹7⁹+…+C₁₀¹⁰-1
=C₁₀⁰7¹⁰+C₁₀¹7⁹+…+C₁₀⁹7，
因为每一项都是7的倍数，所以能被7整除．得证．

点评：本题考查二项式定理的应用，考查基本知识的应用．