题目内容
如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认．假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，设这两名同学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数
专题：综合题,概率与统计
分析：（1）利用平均数的计算方法，可求a的值；
（2）确定基本事件总数，乙组平均成绩超过甲组平均成绩的基本事件总数，利用古典概型概率公式，即可求概率；
（3）确定这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可求随机变量X的分布列和数学期望．
（2）确定基本事件总数，乙组平均成绩超过甲组平均成绩的基本事件总数，利用古典概型概率公式，即可求概率；
（3）确定这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可求随机变量X的分布列和数学期望．
解答：
解：（1）依题意，得：
(88+92+92)=
[90+91+(90+a)]
解得 a=1． …（3分）
（2）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
依题意 a=0，1，2，…，9，共有10种可能．
由（1）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当a=2，3…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
因此乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(A)=
=
．…（7分）
（3）解：当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）
则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4
因此P(X=0)=
，P(X=1)=
，P(X=2)=
，P(X=3)=
，P(X=4)=
．
…（10分）
所以随机变量X的分布列为：
所以X的数学期望E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=
． …（12分）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解得 a=1． …（3分）
（2）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
依题意 a=0，1，2，…，9，共有10种可能．
由（1）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当a=2，3…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
因此乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(A)=
| 8 |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
（3）解：当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），（92，91），（92，92）
则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0，1，2，3，4
因此P(X=0)=
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
…（10分）
所以随机变量X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
点评：本题以茎叶图为载体，考查古典概型概率的计算，考查随机变量X的分布列和数学期望，正确求概率是关键．
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