Question

在圆柱OO₁中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O₁（如图所示），若AB=2，BC=

2

．

（Ⅰ）设平面BEF与⊙O所在平面的交线为l，平面ABE与⊙O₁所在平面的交线为m，证明：l⊥m；
（Ⅱ）求二面角A-BE-F的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面，再由EF⊥CD．能证明l⊥m．
（Ⅱ）分别以EF在⊙O所在平面内的投影、AB、OO₁为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-F的平面角的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：由于圆柱的两底面互相平行，
∴AB∥⊙O₁所在平面，EF∥⊙O所在平面．…（2分）
∴l∥EF，m∥AB．…（4分）
而EF⊥CD．
故l⊥m．…（6分）
（Ⅱ）解：分别以EF在⊙O所在平面内的投影、AB、OO₁为坐标轴建立空间直角坐标系（如图所示），

则A（0，-1，0），B（0，1，0），E（-1，0，

2

），F（1，0，

2

）…（8分）
设平面ABE的法向量分别是

n1

=（x，y，z）
则由

n1

•

AB

=0及

n1

•

AE

=0，
得

2y=0 -x+y+ 2 z=0

，取z=1，得

n1

=（

2

，0，1）…（10分）
设平面BEF的一个法向量为

n2

=（0，

2

，1）
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

1

3

∴所求二面角A-BE-F的平面角的余弦值为

1

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．