Question

已知在（

x

-

2

x2

）ⁿ的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3．
（1）求展开式的常数项；
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+…+（1-x）¹⁰展开式中x²项的系数．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：（1）由条件解方程求得n=10，在二项展开式中的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．
（2）（1-x）³+（1-x）⁴+…+（1-x）¹⁰展开式中x²项的系数为

C

2 3

+

C

2 4

+…+

C

2 10

，再利用二项式系数的性质花简求得结果．

解答： 解：（1）由题意知

C 4 n

C 2 n

=

14

3

，即

n(n-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1

n(n-1) 2×1

=

14

3

，
化简得n²-5n-50=0，解得n=10，或n=-5（舍）．
二项展开式中的通项公式为 Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(-

2

x2

)r=

C

r 10

(-2)rx

10-r

2

-2r，
令

10-r

2

-2r=0，解得r=2，故常数项为第三项为

C

2 10

(-2)2=180．
（2）（1-x）³+（1-x）⁴+…+（1-x）¹⁰展开式中x²项的系数为

C

2 3

+

C

2 4

+…+

C

2 10

 
=

C

3 3

+

C

2 3

+

C

2 4

+…+

C

2 10

-

C

3 3

=

C

3 4

+

C

2 4

+…

C

2 10

-

C

3 3

=

C

3 11

-1=164．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．