Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=

1

2

an2-an+2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）是否存在实数a使得{a_n}为等差数列，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）当a=4时，证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）an+1-an=

1

2

an2-2an+2=

1

2

(an-2)2，若{a_n}为等差数列，则公差为0，从而a_n=2，由此求出a=2．
（Ⅱ）由an+1-2=

1

2

an2-an=

1

2

an(an-2)，得

1

an+1-2

=

1

1 2 an(an-2)

=

1

an-2

-

1

an

，由此能证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：an+1-an=

1

2

an2-2an+2=

1

2

(an-2)2，
若{a_n}为等差数列，
则

1

2

(an-2)2为常数，
即a_n为常数，
从而公差为0，∴a_n=2，
此时{a_n}为常数列，是等差数列，
所以存在a=2满足题意．…（4分）
（Ⅱ）证明：an+1-2=

1

2

an2-an=

1

2

an(an-2)，
则

1

an+1-2

=

1

1 2 an(an-2)

=

1

an-2

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-2

-

1

an+1-2

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

a1-2

-

1

an+1-2

=

1

2

-

1

an+1-2

an+1-an=

1

2

(an-2)2，
∵a₁≠2∴a_n≠2，
∴a_n+1-a_n＞0数列{a_n}单增，
∴a_n+1＞a₁=4，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．…（12分）

点评：本题考查使数列为等差数列的实数值的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．