Question

对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．

解答： 解：根据局部奇函数的定义，f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x∈[

1

2

，2]，则-2m=t+

1

t

，
设g（t）=t+

1

t

，则g'（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，
所以t∈[

1

2

，2]时，g（t）∈[2，

5

2

]．所以-2m∈[2，

5

2

]，即m∈[-

5

4

，-1]．
故答案为：[-

5

4

，-1]．

点评：本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力