Question

（如图）正△ABC的边长为3，D、E分别是BC边上的三等分点，沿AD、AE折起，使B、C两点重合于点P，则下列结论：
①AP⊥DE；
②AP与面PDE所成角的正弦值是

6

3

；
③P到平面ADE的距离为

6

3

；
④AP与底面ADE所成角的余弦值为

6

9

．
其中正确结论的序号为

 

（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：解三角形,空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：取DE的中点F，连接PF，从而可证DE⊥平面AFP，则AP⊥DE；故①正确；
②AP与面PDE所成角为∠APF，先用余弦定理求余弦，再求正弦；
③设P到平面ADE的距离为h，利用三角形面积公式求解；
④AP与底面ADE所成角的为∠PAF，利用余弦定理求余弦．

解答： 解：如图，取DE的中点F，连接PF，
则由题意可得，AF⊥DE，PF⊥DE，
又∵AF∩PF=F，
∴DE⊥平面AFP，
∴AP⊥DE，故①正确；
②AP与面PDE所成角为∠APF，
其中PA=3，AF=

3 3

2

，PF=

3

2

；
∴cos∠APF=

AP2+PF2-AF2

2AP•PF

=

3

3

，
∴sin∠APF=

6

3

；故正确；
③设P到平面ADE的距离为h，
则

1

2

×3×

3

2

×

6

3

=

1

2

×

3 3

2

×h；
则h=

6

3

；故正确；
④AP与底面ADE所成角的为∠PAF，
∴cos∠PAF=

AP2+AF2-PF2

2•AP•AF

=

5 3

9

，故错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了命题的真假性的判断，同时考查了空间几何体的位置关系及余弦定理的应用，属于难题．