Question

已知函数f（x）=a•4^x-a•2^x+1+2在区间[-2，2]上的最大值为3，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：令t=2^x，由x∈[-2，2]，可得t∈[

1

4

，4]，则g（t）=f（x）=at²-2at+2，根据函数的最大值为3，分类讨论求得a的值．

解答： 解：令t=2^x，∵x∈[-2，2]，∴t∈[

1

4

，4]，则g（t）=f（x）=at²-2at+2．
当a=0时，g（t）=2≠3，故舍去a=0；
当a≠0时，g（t）=a（t-1）²+2-a；
当a＞0时，g（t）_max=g（4）=8a+2=3，∴a=

1

8

．
当a＜0时，g（t）_max=2-a=3，∴a=-1．
综上，a=

1

8

或a=-1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．