Question

设x，y∈R

i

，

j

为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量

a

=(x+5)

i

+y

j

，

b

=(x-5)

i

+y

j

，|

a

|-|

b

|=8，求点M（x，y）的轨迹C的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：由给出的向量及|

a

|-|

b

|=8得到

(x+5)2+y2

-

(x-5)2+y2

=8，其几何意义为动点M（x，y）到定点F₁（-5，0）的距离与到定点F₂（5，0）距离差为常数8．结合双曲线的定义得答案．

解答： 解：∵

a

=(x+5)

i

+y

j

，

b

=(x-5)

i

+y

j

，
由|

a

|-|

b

|=8，得

(x+5)2+y2

-

(x-5)2+y2

=8，
即动点M（x，y）到定点F₁（-5，0）的距离与到定点F₂（5，0）距离差为常数8．
∵8＜10，∴动点M（x，y）的轨迹为以F₁（-5，0）、F₂（5，0）为焦点，以8为实轴的双曲线的右支．
由a=4，c=5，得b²=c²-a²=25-16=9．
∴点M（x，y）的轨迹C的方程为

x2

16

-

y2

9

=1 (x≥4)．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了向量莫得几何意义，考查了双曲线的定义，是中档题．