Question

已知函数f（x）=xe^x+x²+ax+b，在点（0，f（0））处的切线方程是x+y-1=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=lnx-cx+1+c（c＞0），对一切x∈（0，+∞），均有g（x）≤1恒成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：f（x）+xg（x）＞4

x

-2．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,不等式的证明

专题：计算题,证明题,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f（x）的导数，由切线方程可得，f（0）=1，f′（0）=-1，即可解得a，b；对一切x∈（0，+∞），均有g（x）≤1恒成立，即有lnx-cx+c≤0对x＞0恒成立．运用导数求出不等式左边的最大值即可，再由lnx≤x-1，即可得到c；
（2）可运用分析法，结合e^x≥x+1，xlnx≥-

1

e

，令t=

x

，即有不等式左边为t⁴+t²-4t+3-

1

e

，运用导数求出最小值，说明它大于0，即可得证．

解答： （1）解：函数f（x）=xe^x+x²+ax+b的导数为
f′（x）=e^x+xe^x+2x+a，
在点（0，f（0））处的切线方程是x+y-1=0，
即有f（0）=1，f′（0）=-1，则b=1，a=-2，
对一切x∈（0，+∞），均有g（x）≤1恒成立，
即有lnx-cx+c≤0对x＞0恒成立．
由于（lnx-cx+c）′=

1

x

-c（c＞0），则lnx-cx+c在x＞

1

c

递减，在0＜x＜

1

c

递增．
则有ln

1

c

-1+c≤0，即为lnc+1≥c，
但lnx+1-x的导数为

1

x

-1，在x＞1递减，在0＜x＜1递增，则在x=1处取得极大值，也为最大值，
则lnc+1≤c，故lnc+1=c，解得，c=1，
则有a=-2，b=1，c=1；
（2）证明：要证f（x）+xg（x）＞4

x

-2，
即证xe^x+x²-2x+1+xlnx-x²+2x-4

x

+2＞0，
即证xe^x+xlnx-4

x

+3＞0，
由于e^x-x-1的导数为e^x-1，当x＞0递增，x＜0递减，则e^x≥x+1，
xlnx的导数为lnx+1，当x＞

1

e

时递增，0＜x＜

1

e

递减，则有x=

1

e

处取得极小值也为最小值，且为-

1

e

，
则有xe^x+xlnx-4

x

+3＞x（x+1）-

1

e

-4

x

+3，
令t=

x

，则上式的右边即为t⁴+t²-4t+3-

1

e

，对它求导，得f（t）=4t³+2t-4，
由于f（0）f（1）＜0，则在（0，1）存在一个根t₀，易得即为极小值点，也为最小值点，
可得t₀⁴+t₀²-4t₀+3-

1

e

＞0，
则原不等式成立．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．