Question

函数f（x）=ax+

b

x-1

-a（a∈R，a≠0）在x=3处的切线方程与直线（2a-1）x-2y+3=0平行且f（3）=3，若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，则实数t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意，f（x）=ax+

b

x-1

-a，f′（x）=a-

b

(x-1)2

；代入f（3）=3及平行关系可求得a=1，b=2；从而化简方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|为t=

1

(x-1)|x|

，从而作图求解．

解答： 解：由题意，f（x）=ax+

b

x-1

-a，
f′（x）=a-

b

(x-1)2

；
则f′（3）=a-

b

4

=

2a-1

2

，
f（3）=3a+

b

2

-a=3；
解得，a=1，b=2；
故f（x）=x+

2

x-1

-1；
则方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|可化为
x+

2

x-1

-1=t（x²-2x+3）|x|，
即

x2-2x+3

x-1

=t（x²-2x+3）|x|，
又∵x²-2x+3＞0，
故上式可化为
t|x|=

1

x-1

，
则t=

1

(x-1)|x|

，
作函数图象如下，

由图可知，t＜-4．
故答案为：t＜-4．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．