Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]．若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（2）=0得4a+2b=0，根据f（x）=x有等根可求出b=1，这样即可解出a，从而求出f（x）=-

1

2

x2+x；
（2）对f（x）进行配方即可求出f（x）的值域；
（3）根据题意知，对于函数y=4x，它的定义域若是[m，n]，值域便是[4m，4n]，所以求函数y=4x图象和函数f（x）的图象的交点，若有两个交点，便符合已知条件，若没有交点或只一个交点，便不存在已知条件中的m，n，所以解方程组

y=- 1 2 x2+x y=4x

即得答案．

解答： 解：（1）由f（2）=0得：4a+2b=0   ①；
由f（x）=x得：ax²+bx=x，∴x（ax+b-1）=0，∵该方程有等根，∴等根为0，∴0+b-1=0，∴b=1，将b=1带入①得：a=-

1

2

；
∴f(x)=-

1

2

x2+x；
（2）f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，∴f（x）的值域为（-∞，

1

2

]；
（3）令y=f（x），解

y=- 1 2 x2+x y=4x

得x=0，y=0或x=-6，y=-24；
∴存在m=-6，n=0，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]，[4m，4n]．

点评：考查求函数解析式，及等根的概念，用配方法求二次函数的值域，判断求f（x）的定义域，值域分别为[m，n]，[4m，4n]，即判断f（x）和y=4x图象有两个以上交点．