Question

已知函数f（x）=|log_ax|．
（1）当a=2时，求函数f（x）-3的零点；
（2）若存在互不相等的正实数m，n，使f（m）=f（n），判断函数g（x）=m^x+n^x-1的奇偶性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若m＞n，当x＞m时，求函数y=log_mxlog_nx+log_mx的值域．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求解|log

x 2

|=3即可．（2）运用函数的奇偶性定义证明，（3）转化为y=-（log

x m

-

1

2

）²+

1

4

求解．

解答： 解：（1）当a=2时，
令f（x）-3=0得log₂x=3或log₂x=-3；
所以x=8或x=

1

8

所以函数f（x）-3的零点为8或

1

8

（2）因为f（m）=f（n）
所以log_am=log_an或log_am=-log_an
所以m=n（舍去）或m=

1

n

因为g（x）=m^x+（m^-1）^x-1=m^x+m^-x-1且定义域为R
所以g（-x）=m^-x+m^x-1=g（x）
所以g（x）为偶函数
（3）由（2）得m=

1

n

y=logmxlogm-1x+logmx =-logm2x+logmx =-(logmx- 1 2 )2+ 1 4

因为x＞m＞n，所以m＞1
所以log_mx＞1
所以y_max＜0
所以g（x）的值域为（-∞，0）

点评：本题考察了对数函数的性质的综合应用，结合函数的，不等式求解．属于中档题．