Question

19．已知函数f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（mn＞0），给出下列四个命题：
①当b=0时，函数f（x）在（0，$\sqrt{c}$）上单调递增，在（$\sqrt{c}$，+∞）上单调递减；
②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；
③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；
④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{-3，-1，0，1}．
则正确命题的序号为②③．

Answer 1

分析 ①，b=0时，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$，因为a正负不定，所以单调性不定；
②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是函数奇函数h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到；
③，当x≠0时，函数h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$存在最大、最小值，且f（0）=0，函数f（x）也存在最大、最小值；
④，关于x的方程g（x）=0的解集?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{-3，-1，0，1}；

解答 解：对于①，b=0时，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；
对于②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是奇函数h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到，故正确；
对于③，当x≠0时，函数h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）也存在最大、最小值，故正确；
对于④，关于x的方程g（x）=0的解?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{-3，-1，0，1}，故错；
故答案为：②③．

点评 本题考查了函数的基本性质，属于中档题．