Question

9．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为$4\sqrt{3}$，则这个圆锥的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• B． $\frac{{32\sqrt{35}π}}{27}$
• C． $\frac{{128\sqrt{2}π}}{81}$
• D． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP'，由余弦定理求出∠P′OP=$\frac{2π}{3}$．求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积．

解答 解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP=$\frac{O{P}^{2}+O{{P}^{'}}^{2}-P{{P}^{'}}^{2}}{2OP•O{P}^{'}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$∠{P}^{'}OP=\frac{2π}{3}$．设底面圆的半径为r，
则有$2πr=\frac{2π}{3}$，解得r=$\frac{4}{3}$．
∴这个圆锥的高为h=$\sqrt{16-\frac{16}{9}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
这个圆锥的体积为V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}×π{r}^{2}×h$=$\frac{1}{3}π×\frac{16}{9}×\frac{8\sqrt{2}}{3}$=$\frac{128\sqrt{2}π}{81}$．
故选：C．

点评 本题考查空间几何体的表面展开图的应用，最小值的求法，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．