Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（4，5cosα），$\overrightarrow{b}$=（3，-4tanα），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则sinα=-$\frac{3}{5}$；若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则cos（$\frac{3π}{2}$-α）+sin（π+α）=-$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，可得15cosα-16tanα=0，15（1-sin²α）-16sinα=0，sinα∈[-1，1]，解得sinα．由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，解得sinα．再利用诱导公式即可得出cos（$\frac{3π}{2}$-α）+sin（π+α）=-sinα-sinα．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴15cosα+16tanα=0，15（1-sin²α）+16sinα=0，
即15sin²α-16sinα-15=0，sinα∈[-1，1]，
解得sinα=-$\frac{3}{5}$．
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=12-20sinα=0，解得sinα=$\frac{3}{5}$．
则cos（$\frac{3π}{2}$-α）+sin（π+α）=-sinα-sinα=-$\frac{6}{5}$，
故答案为：-$\frac{3}{5}$，-$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．