Question

10．椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，则此椭圆上的点到直线2x-3y+6=0距离的最小值为$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$．

Answer 1

分析 由椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，设P（2cosθ，sinθ）．θ∈[0，2π）．利用点到直线的距离公式与三角函数的值域即可得出．

解答 解：由椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，设P（2cosθ，sinθ）．θ∈[0，2π）．
则此椭圆上的点P到直线2x-3y+6=0距离=$\frac{|2cosθ-3sinθ+6|}{\sqrt{13}}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ-φ）+6|}{\sqrt{13}}$≥$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$，当且仅当sin（θ-φ）=-1时取等号．
故答案为：$\frac{6-\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．