Question

如图AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC=2BC=2CD=2，PA⊥圆O所在的平面，PA=

3

，点M在线段BP上，且BM=

1

3

BP．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）求异面直线BP与CD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）作ME⊥AB于E，连接CE，则ME∥AB由圆的性质得EC∥AD，从而平面MEC∥平面PAD，由此能证明CM∥平面PAD．
（2）过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，作BF∥CG，连接PF，∠PBF为异面直线BP与CD所成角，由此能求出异面直线BP与CD所成角的余弦值．

解答： （1）证明：作ME⊥AB于E，连接CE，∴CE⊥AP，…①
∵AC是圆O的直径，AC=2BC=2CD=2，
∴AD⊥DC，AB⊥BC，∴∠BAC=∠CAD=30°，
∠BCA=∠DCA=60°，AB=AD=

3

，
BM=

1

3

BP，∴BE=

1

3

BA=

3

3

，tan∠BCE=

3

3

，
∴∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD，
∴EC∥AD，…②
又ME∩CE=E，PA∩DA=A，
∴平面MEC∥平面PAD，CM?平面MEC，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD．

（2）解：过点A作平行于BC的直线交CD的延长线于G，
作BF∥CG，连接PF，
则∠PBF为异面直线BP与CD所成角，设∠PBF=θ，
AF=1，PB=

6

，BF=2，PF=2，
∴cosθ=

PB2+BF2-PF2

2PB•BF

=

6+4-4

2 6 ×2

=

6

4

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧．