Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的中心为O，过其右焦点F的直线与两条渐近线交于A、B两点，

FA

与

BF

同向，且FA⊥OA，若|OA|+|OB|=2|AB|，则此双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、

  6

  2

• C、

  10

  3

• D、

  5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由勾股定理、|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答： 解：由FA⊥OA知，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
又|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，
所以|OA|：|AB|：|OB|=3：4：5，
于是tan∠AOB=

4

3

．
因为

FA

与

BF

同向，
所以过F作直线l₁的垂线与双曲线相交于同一支．
而双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±

b

a

x，故

2b a

1- b2 a2

=

4

3

，
解得a=2b，
故双曲线的离心率e=

c

a

=

a2+b2

a

=

5

2

．
故选：D．

点评：本题考查了双曲线的简单性质，确定tan∠AOB=

4

3

，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．