Question

6．已知平面非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，若对任意平面向量$\overrightarrow{c}$，都有（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）≥m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$恒成立，则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 由题意非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，不妨取$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），则利用（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）≥m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，可得（x-$\frac{5}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²-$\frac{3}{4}$≥m，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
不妨取$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），则
∵（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）≥m$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
∴（x-2，y）•（2x-1，2y-$\sqrt{3}$）≥2m，
∴（x-2）（2x-1）+y（2y-$\sqrt{3}$）≥2m，
∴（x-$\frac{5}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²-$\frac{3}{4}$≥m
∴实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{4}$]．
故答案为（-∞，-$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查坐标化的方法，正确运用坐标化的方法是关键．