Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，过点P（2，1）且被点P平分的椭圆的弦所在的直线方程是（　　）

• A． 8x+y-17=0
• B． x+2y-4=0
• C． x-2y=0
• D． 8x-y-15=0

Answer 1

分析 设直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得弦所在直线的斜率，则利用点斜式求得弦所在的直线方程．

解答 解：设直线与椭圆交于点A，B，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，两式相减，化简可得（${{x}_{1}}^{2}{{-x}_{2}}^{2}$）+4（${{y}_{1}}^{2}$-${{y}_{2}}^{2}$ ）=0，
即$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{4{（y}_{1}{+y}_{2}）}$．
∵点M（2，1）是AB的中点，∴x₁ +x₂=4，y₁+y₂ =2，
∴k_AB=即$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{4{（y}_{1}{+y}_{2}）}$=-$\frac{4}{4•2}$=-$\frac{1}{2}$，
故被点P平分的椭圆的弦所在的直线方程是y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即 x+2y-4=0，
故选：B．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，训练了“舍而不求”的解题思想方法，利用点斜式求直线的方程，属于中档题．