Question

设函数f（x）=

log2|x-1|   (x≠1) 2        (x=1)

，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0（b，c∈R）恰有5个不同的实数解x_i（i=1，2，3，4，5），则f（

5

i=1

x_i）的值为（　　）

• A、8
• B、5
• C、4
• D、2

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：设t=f（x），作出函数f（x）的图象，根据关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解，得到t的取值情况，利用对称性，即可求出结论．

解答： 解：设t=f（x），则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0等价为t²+bt+c=0，
作出f（x）的图象如图：
由图象可知当t=2时，方程f（x）=2有三个根，当t≠2时方程f（x）=t有两个不同的实根，
∴若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
则等价为t²+bt+c=0有两个根，一个根t=2，
另外一个根t≠2，
不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
对应的两个根为x₁与x₅，x₁与x₂，分别关于x=1对称，
则x₃=1，
则x₁+x₅=2，且x₂+x₄=2，
则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2+2+1=5，
则f（

5

i=1

x_i）=f（5）=log₂|5-1|=log₂4=2，
故选：D

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用换元法将方程转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．本题的质量相当高．