Question

19．已知函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）若h（x）=f（x）-b，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上含有2个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间．
（2）由题意可得f（x）的图象和直线y=b在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有2个交点，再利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得b的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
可得函数的单调减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（2）若h（x）=f（x）-b，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上含有2个零点，
则f（x）的图象和直线y=b在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有2个交点．
在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，∵2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
又2sin（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，当2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上时，f（x）单调递增；
当2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上时，f（x）单调递减，2sin$\frac{π}{2}$=2，可得b∈[$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的图象，属于中档题．