Question

9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（单位：cm³），表面积是8+$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$（单位：cm²）

Answer 1

分析 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式和表面积公式，可得答案．

解答 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其直观图如下图所示：

底面ABCD的面积为：2×2=4cm²，
高VO=$\sqrt{3}$cm，
故该几何体的体积V=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm³，
侧面VAD的面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cm²，
VA=VD=2cm，
OB=OC=$\sqrt{5}$cm，VB=VC=2$\sqrt{2}$cm，
侧面VAB和侧面BCD的面积为：$\frac{1}{2}$×2×2=2cm²，
侧面VBC底面上的高为$\sqrt{7}$cm，
故侧面VBC的面积为：$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{7}$=$\sqrt{7}$cm²，
故几何体的表面积S=4+$\sqrt{3}$+2×2+$\sqrt{7}$=8+$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$cm²，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，8+$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$

点评 本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．