Question

已知直线l₁：mx-（m+1）y-2=0，l₂：x+2y+1=0，l₃：y=x-2是三条不同的直线，其中m∈R．
（Ⅰ）求证：直线l₁恒过定点，并求出该点的坐标；
（Ⅱ）若l₂，l₃的交点为圆心，2

3

为半径的圆C与直线l₁相交于A，B两点，求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,恒过定点的直线

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）直线l₁：mx-（m+1）y-2=0，可化为m（x-y）-（y+2）=0，可得

x-y=0 y+2=0

，即可得出直线l₁恒过定点，及该点的坐标；
（Ⅱ）求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l₁．

解答： （Ⅰ）证明：直线l₁：mx-（m+1）y-2=0，可化为m（x-y）-（y+2）=0，
∴

x-y=0 y+2=0

，∴x=y=-2，
∴直线l₁恒过定点D（-2，-2）；
（Ⅱ）解：l₂：x+2y+1=0，l₃：y=x-2联立可得交点坐标C（1，-1），
求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l₁，
∵|CD|=

(1+2)2+(-1+2)2

=

10

，
∴|AB|的最小值为2

12-10

=2

2

．

点评：本题考查直线l₁恒过定点，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．