Question

已知单调递增的等差数列{a_n}满足a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（Ⅱ）设b_n=

Sn

n

，求数列{

1

bn•bn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），由已知结合a₁，a₂，a₄成等比数列求得等差数列的公差，则等差数列的通项公式和前n项和公式可求；
（Ⅱ）把等差数列的前n项和代入b_n=

Sn

n

，整理后代入

1

bn•bn+1

，然后利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列，得
（2+d）²=2（2+3d），解得：d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
Sn=2n+

2n(n-1)

2

=n2+n；
（Ⅱ）由b_n=

Sn

n

=

n2+n

n

=n+1，
∴

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
则T_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

=

n+2-2

2(n+2)

=

n

2n+4

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．