Question

设f（x）=cos2x+sinx
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（B）=1，b=1，c=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）将x=

π

3

代入f（x）即可求出f（

π

3

）的值；
（2）根据f（B）=1且sinB的值域，得到sinB=

1

2

，进而确定出B的度数，利用余弦定理求出a的值，再由c，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答： 解：（1）当x=

π

3

时，f（

π

3

）=cos

2π

3

+sin

π

3

=

3 -1

2

；
（2）由f（B）=1，得到1-2sin²B+sinB=1，即2sinB（sinB-

1

2

）=0，
∵0＜sinB＜1，∴sinB=

1

2

，
∵b＜c，∴B＜C，即B为锐角，
∴B=

π

6

，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即1=a²+3-3a，
解得：a=1或a=2，
当a=1时，S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×1×

3

×

1

2

=

3

4

；
当a=2时，S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．